間違ってもいいから思いっきり(市井人の日曜研究)

私たち人間は、言葉で物事を考えている限り、あらゆるものを「是か非か」と格付けする乱暴な○×ゲームに絶えず影響されています。ここでは、万人が強制参加させられているこの言語ゲームを分析し、言葉の荒波に溺れてしまわないための知恵を模索していきます。

0.999999…=1の決着法

 数学教師という肩書きを持っていると、ときどき聴かれるのが「0.999999…が1になるのは何故か」という質問です。
 この疑問に対するもっともありふれた回答は以下のようなものです。
 
 1÷3=0.3333333…
1÷3×3=0.333333…×3
  1=0.999999…
 
 他にも、極限という高校・大学で習う概念を用いたより厳密な説明がありますが、そういった説明を一通り理解した上で「それでもその説明はおかしい」と判断している方もいらっしゃいます。
 そこで今回は、この疑問を解消するために用意している、私なりの説明を文章化してみたいと思います。 
 この問題に対する私の個人的な見解はこうです。
 
問題の原因は「=(イコール)」という記号の意味をめぐる「最初の取り決め」の食い違いにある。
数学では「0.999999…と9を果てしなく続けていくと1にどこまでも近付いていく」といった文意を「0.999999…=1」のように書き表す「ルール」があるというだけのこと。
 
実は数学には二種類のイコールがあり、ここで使われているイコールは「左右の二つの数が互いに等しい」という意味で使われる一般的なイコールではなく、「左の作業を果てしなく続けていくと右の数にどこまでも近付いていく」という意味を持つ極限のイコールである。 
「0.999999…」というのも「何か特定の数」を指す記号ではなく、「9を果てしなく続けていく」という「作業」を表す記号でしかない。
 
つまり、「0.999999…が1になるのは何故か」といった疑問が生じるのは「左右の二つの数が互いに等しい」という一般的な意味でしかイコールを捉えていないから。
「数学の世界では通常のイコールと極限のイコールとが共存している」という知識さえあれば、「0.999999…=1」はただ単に「0.999999…と9を果てしなく続けていくと1にどこまでも近付いていく」という事実をルール通りに書き表しているだけなので、不思議でもなんでもなくなる。

 ここで私が最初に「個人的な見解」と断ったのは、数学の世界での「立場に左右されない統一的な見解」が、この件に関しては定まっていないからです。
 白か黒かがすべてはっきりしているように見える数学の世界にも、実は「右翼と左翼のいがみ合い」のようなイデオロギー的対立があるんです。
 それが、無限という概念をめぐる「実無限派」と「可能無限派」との対立です。
 
 この対立について、今回の例に則して大雑把に説明してみると、「0.9+0.09+0.009+0.0009+0.00009+0.000009+…という果てしない作業を想定することはできるが、そのような終わらない計算の結果なんて定まった数として取り扱うことはできない」と考えるのが可能無限派であり、「無限に続く計算の収束先は一つの数として取り扱うことができるので0.999999…はちゃんとした数だと見なしてよい」と考えるのが実無限派だと言うことができるでしょう。
 中学、高校、大学などでも教えられている現代数学の主流はこの実無限の考え方ですが、ギリシャ哲学の時代から数千年間の主流はむしろ可能無限の考え方であり、実無限派が巻き返してきたのは近現代のたかだか数百年でしかありません。
 
 この実無限と可能無限の問題については、野矢茂樹という哲学者が『無限論の教室』という著書で丁寧に説明しています。
 その中に、実無限と可能無限の違いが分かる、シンプルな喩えがいくつか提示されていたので紹介してみましょう。

無限論の教室 (講談社現代新書)

無限論の教室 (講談社現代新書)

 
 一つ目の喩えは彫刻です。
 与えられた木材から彫れる作品の形は、人、動物、植物、無機物、仏など、ありとあらゆる可能性があります。
 木材には、こうした無数の可能性が彫られる前の時点からあらかじめ内臓されており、彫刻家はその膨大な選択肢からどれか一つを選んでいるだけなんだと、神の視座に立って解釈するのが実無限的な発想です。
 一方、可能無限的な考え方では、彫刻家は木材をありとあらゆる形に彫っていくことができるが、別にその可能性が最初から選択肢として木材にインプットされていたわけではないと捉えます。
 
 この可能無限の考え方によると「無数の点が集まって直線ができている」という、中学、高校で教わる実無限的な知識も明確に否定されます。
 そのことを端的に説明している、野矢茂樹の二つ目の比喩を紹介しましょう。
 
 まず、果てしなく長い羊羮を想像し、これを数がびっしりと並んだ数直線だと見なします。
 さらに、この羊羮をカットする行為を想定し、このときにできる切れ目を一つ一つの数、つまり点と見なします。
 そうすると、実無限的に「無数の点が集まって直線ができている」と考えたのでは辻褄の合わない事例が出てきます。
 
 実無限的な「点が集まって線になる」という考え方を羊羮の喩えに当てはめると、「羊羮の切れ目を無数に集めれば羊羮ができあがる」ということになります。
 ですが、切れ目はあくまでも切れ目でしかなく羊羮そのものではないので、いくら集めたって羊羮にはならないでしょう。
 少しでも厚みのある羊羮のかけらを集めなければ羊羮にはならないのと同じように、長さのない点ではなく少しでも長さをもった線のかけらを集めなければ直線になんてなるはずがないのです。
 
 一方、可能無限的な考え方であれば、この羊羮の喩えには何の矛盾も生じません。
 「直線からは無数の点を一つ一つ見つけ出していくことはできるが、だからといって無数の点から直線ができているわけではない」というのが可能無限の考え方。
 これならば「羊羮に無数の切れ目を一つ一つ付けていくことはできるが、だからといって無数の切れ目から羊羮ができているわけではない」と、羊羮に置き換えても自然な解釈が成り立ちます。
 
 このように、羊羮は厚みの全くない切れ目の集まりでできており、木材にはどんな形の彫刻も最初からインプットされており、終わりもしない計算の結果を普通の数として扱ってもかまわないとする独特の信仰こそが、現代に流通している数学で主に採用されている実無限の考え方です。
 なぜ可能無限ではなく実無限の方が採用されているかというと、実無限の考えを使った方が数学者の気に入るような「すっきりと辻褄の合う理論」をいろいろと作りやすかったから。
 「そう考えてしまっても本当に大丈夫なのか」としつこくこだわる哲学者と違って、ゲームとしての計算や証明が大好きな数学者は「綺麗なゲームが成り立ってくれれば嬉しい」というプレイヤーとしての気持ちの方が強いのでしょう。
 
 そんなわけで、可能無限に近い自然な考え方にこだわるタイプの人は、「0.999999…が1と同じだなんておかしい」という違和感を主張し続けます。
 それに対して、実無限的な現代数学のお約束を素直に「決まり事」として飲み込んでいる人は、0.999999…や0.333333…や無理数など「果てしない作業を前提とする概念」を通常の数として扱う説明に何の違和感もありません。
 数学好きが高じて「実無限を是とする今風の数学」に染まりきっている人の中には、違和感を表明する人に対して「分かってない」と正しにかかろうとする人さえいます。
 
 そういう私自身は、可能無限を是とする伝統的かつ哲学的な数学観に共感していますが、一方では実無限的な方便を用いた今風な数学ゲームを楽しみたいとも思っている人間です。
 そこで思い付いたのが、冒頭で紹介した「イコールには二種類の意味があり、互いに矛盾なく共存している」という考え方です。
 
 可能無限的な考えをする人が実無限的な数学に違和感を覚えるのは、イコールのことを「二つの数が互いに等しい」という一般的な意味に留めているから。
 ですが、イコールという記号は一般的な意味以外にも「左に記した作業を果てしなく続けていくと右の数にどこまでも近付いていく」という極限の意味にも使われるんだと割り切ってしまえれば、可能無限的な視点からも比較的納得しやすいかと思います。
 さらに、実無限の立場で書かれた高校や大学の教科書を見ても、極限の定義を真摯に読めば「片方がもう片方に近付いていくことを示す別物の記号」として解釈できることが分かります。
 
 この経緯を踏まえた上で、私自身は「数学の世界では通常のイコールと極限のイコールとが共存している」という見解に至りました。
 根本的に立場が違う人とは決して解り合えないかもしれませんが、物事を上手く運ぶための現実的な妥協が許容できる人には、なかなかおすすめな方法だと思いますよ。
 
 
※当ブログの主なテーマは、この世界を支配する「正しさ」という言葉のプロレスとの付き合い方。mrbachikorn.hatenablog.com 
「正しさ」というゲームの最大の欠陥は、何を「正しい」とし何を「間違ってる」とするのかというルールや、その管理者たるレフェリーが、実際にはどこにも存在しないということ。
人類はこれまで数え切れないほどの論争を繰り広げてきましたが、それらのほとんどは「レフェリーの代弁者」という場を仕切る権限をめぐっての権力闘争でした。
 
「レフェリーの代弁者」という立場は、自分の個人的な要求でしかない主張を、まるでこの世の既成事実のように見せかけるための隠れ蓑です。
「それは正しい」とか「それは間違ってる」という言い方で裁きたがる人たちは、私はこの世のレフェリーの代弁をしているだけなんだという迫真の演技で己の発言の圧力を高めていたのです。
 
演技の迫力とは、演技者が役にどれだけ入り込めるかで決まるもの。
人々はいつしかレフェリーの代弁者のふりが説得のための演技であったことを忘れ、「どこかに本当の正しさがあるはず」といった物語を本気で信じこんでしまいます。
こうして人類の間には、「正しさ」という架空のレフェリーの存在をガチだと捉えてしまう、大がかりなプロレス社会が成立していきました。

そのプロレス的世界観を支えている固定観念の源を「記述信仰」と名付けました。
以下の記事では、この「記述信仰」の実態を上のような簡単な図まとめて解説していますので、ぜひご一読ください。mrbachikorn.hatenablog.com